variable - ¿Por qué en matlab el pecado(pi) no es exacto pero el pecado(pi/2) es exacto?

variable pi en matlab

Question

Tengo un problema en el cálculo con matlab . Sé que " pi " es un número flotante y no es exacto. Por lo tanto, en matlab sin(pi) no es exactamente cero. Mi pregunta es si " pi " no es exacto, entonces ¿por qué el sin(pi/2) es exactamente igual a 1?

sin(pi) -> no es exacto debido a que pi . pero el sin(pi/2) es exactamente igual a 1

¡Estoy maravillado y confundido!

Answer 1

La razón es que el sin(pi)=0.0 , por lo que cada pequeño error, sin importar cuán pequeño sea, es enorme comparado con 0 y, por lo tanto, es visible.

De manera diferente, para sin(pi/2)=1 : si el algoritmo produce un error más pequeño que eps (alrededor de 2.220446e-16 ), no verá este error porque 1+eps=1 .

El error es en parte el resultado de la entrada imprecisa (el valor pi no es exacto) y en parte el resultado del redondeo durante el cálculo. Uno tiene que mirar profundamente en el código para hacerlo bien.

Otro factor importante es la propia función. Teniendo en cuenta la propagación del error al mirar las series de Taylor para pi y pi/2 podemos ver:

sin(pi+dx)=sin(pi)+cos(pi)dx+o(dx^2)=-dx+o(dx^2)
sin(pi/2+dx)=sin(pi/2)+cos(pi/2)dx+o(dx^2)=1+o(dx^2)

Está claro: si dx es sobre eps , el error debido a la entrada imprecisa será sobre eps*eps y, por lo tanto, no será visible en comparación con 1 .

Answer 2

No sé la forma exacta en que Matlab calcula sin(x) , pero puede investigarlo calculando usando la serie de potencias, es decir

sin x = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + (x^9)/9! ...

Convirtiéndolo en algún código de Matlab lo representamos por:

clc
x = pi;     %  or x = pi/2
res = x;
factor = -1;
for ii=3:2:19
  res = res + factor*power(x,ii)/factorial(ii);
  factor = factor*-1;  
  fprintf ( ''iteration %2i  sin(x)=%1.16f/n'', (ii-1)/2, res );
end
res

Al ejecutar este código para x=pi y x=pi/2 , puede ver que x=pi/2 converge en el resultado correcto (dentro del error eps) con bastante rapidez (9 iteraciones), mientras que el caso x=pi no lo hace. convergen en el mismo marco de tiempo.

Es útil señalar que en 9 iteraciones, el último factorial que se calcula en factorial (19). El siguiente factorial que se calcularía en esta secuencia es 21. Este es el último factorial que se puede representar con el 100% de precisión debido a la doble precisión (ver help factorial ).

Así que creo que lo que está sucediendo es que para pi / 2 la solución matemática converge en 1 con una precisión doble más rápida que en el caso pi. De hecho, el caso pi no puede converger completamente debido a las limitaciones en las matemáticas y la precisión que se puede almacenar en un resultado de doble precisión.

Habiendo dicho todo lo que el sin(pi) está dentro de eps , debes usar ese hecho para tus propósitos.

He copiado los resultados que obtengo a continuación (R2015b):

Results for PI/2
iteration  1  sin(x)=0.9248322292886504
iteration  2  sin(x)=1.0045248555348174
iteration  3  sin(x)=0.9998431013994987
iteration  4  sin(x)=1.0000035425842861
iteration  5  sin(x)=0.9999999437410510
iteration  6  sin(x)=1.0000000006627803
iteration  7  sin(x)=0.9999999999939768
iteration  8  sin(x)=1.0000000000000437
iteration  9  sin(x)=1.0000000000000000
Final Result: 1.0000000000000000


Results for PI
iteration  1  sin(x)=-2.0261201264601763
iteration  2  sin(x)=0.5240439134171688
iteration  3  sin(x)=-0.0752206159036231
iteration  4  sin(x)=0.0069252707075051
iteration  5  sin(x)=-0.0004451602382092
iteration  6  sin(x)=0.0000211425675584
iteration  7  sin(x)=-0.0000007727858894
iteration  8  sin(x)=0.0000000224195107
iteration  9  sin(x)=-0.0000000005289183
Final Result: -0.0000000005289183